Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=2，CC₁=x，四边形ABC₁D₁的面积为S．
（1）线段AD₁的长度最小值是

 

，此时x=

 

；
（2）当x为何时，四边形ABC₁D₁是菱形？并说明理由；
（3）求S与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象．

Answer 1

考点：矩形的性质,菱形的判定,平移的性质

专题：

分析：（1）当AD₁⊥AC时，线段AD₁的长度最小，再根据解直角三角形求解．
（2）四边形ABC₁D₁是菱形，可以得出△AD₁C₁是等边三角形，进而求出x的值．
（3）作C₁E⊥AB于点E，求出EC₁用平行四边形的面积公式求出关于S与x的函数关系式，注意函数关系式分两种情况并画出图象．

解答：解：（1）当AD₁⊥AC时，线段AD₁的长度最小；
∵矩形ABCD中，∠ACB=30°，AB=2，
∴∠D₁A₁C₁=∠DAC=∠ACB=30°，C₁D₁=CD=AB=2，∠A₁D₁C₁=∠D=90°，
∴∠A₁C₁D₁=60°，
∴AC₁=C₁D₁•cos60°=2×

1

2

=1，AD₁=C₁D₁•sin60°=2×

3

2

=

3

，
∵AC=2CD=4，
∴x=AC-AC₁=4-1=3；
故答案为：

3

，3．

（2）当x=2时，四边形ABC₁D₁是菱形．
理由：四边形ABC₁D₁是菱形
∴C₁D₁=AD₁
∵∠A₁C₁D₁=60°，C₁D₁=2，
∴△AD₁C₁是等边三角形，
∴AD₁=AC₁=C₁D₁=2
x=AB-AC₁=4-2=2
∴当x=2时，四边形ABC₁D₁是菱形；

（3）
①当0＜x＜4时，如图作C₁E⊥AB于点E
∵∠ACB=30°，AB=2
∴AC=4，AC₁₌4-x
∵C₁E∥BC
∴∠AC₁E=∠ACB=30°
∴AE=

4-x

2

，EC₁₌

3

2

（4-x）
∴S=AB×EC₁₌2×

3

2

（4-x）=4

3

-

3

x
S=-

3

x+4

3

②当x＞4时，如图2，作C₁E⊥AB于点E

∵∠ACB=30°，AB=2
∴AC=4，AC₁ =x-4
∵C₁E∥BC
∴∠AC₁E=∠ACB=30°
∴AE=

1

2

（x-4），EC₁₌

3

2

（x-4）
∴S=AB×EC₁₌2×

3

2

（x-4）=

3

x-4

3

图象：

点评：本题主要考查矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识．