Question

9．如图，在△ABC中，先按如下步骤尺规作图再计算：
（1）作AD平分∠BAC，交BC于D；
（2）作AD的垂直平分线MN分别交AB、AC于点E、F；
（3）连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）∠BAC的平分线AD如图所示．
（2）线段AD的垂直平分线MN，分别交AB、AC于点E、F，如图所示．
（3）首先证明四边形AEDF是菱形，推出AE=DE=AF=DF=4，由DE∥AC，推出$\frac{BE}{EA}$=$\frac{BD}{DC}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∠BAC的平分线AD如图所示．
（2）线段AD的垂直平分线MN，分别交AB、AC于点E、F，如图所示．
（3）∵EA=ED，FA=FD，
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EDA=∠FAD，∠EAD=∠FDA，
∴DE∥AF，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，∵EA=ED，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=AF=DF=4，
∵DE∥AC，
∴$\frac{BE}{EA}$=$\frac{BD}{DC}$，
∴$\frac{BE}{4}$=$\frac{6}{3}$，
∴BE=8．

点评 本题考查复杂作图、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．