Question

12．如图，在△ABC中，∠90°．
（1）用尺规作图，在AC边上找一点D，使DB+DC=AC（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下若AC=6，AB=8，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线交AC于点D，则点D满足条件；
（2）先利用勾股定理计算出BC，再设CD=x，则BD=AD=AC-CD=6-x，再利用勾股定理列方程得（6-x）²=（2$\sqrt{7}$）²+x²，然后解方程即可．

解答 解：（1）如图，点D为所作；

（2）∵AC=6，AB=8，
∴BC=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
设CD=x，则BD=AD=AC-CD=6-x，
在Rt△BCD中，
∵BD²=BC²+CD²，
∴（6-x）²=（2$\sqrt{7}$）²+x²，解得x=$\frac{2}{3}$，
即CD的长为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质和勾股定理．