Question

9．如图，P是⊙O直径CB延长线上一点，A是⊙O上一点，PA=3，PB=1，BC=8
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AD是⊙O的弦，交CB于点M，且有MA²=MB•MP，求证：AP∥CD．

Answer 1

分析 （1）根据已知证得△APB∽△CPA，从而得出∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理函数等腰三角形的性质即可证得OA⊥PA，从而证得结论；
（2）根据MA²=MB•MP，证得△AMB∽△PMA，得出∠P=∠BAM，又根据圆周角定理证得∠BAD=∠C，进而得出∠P=∠C，根据平行线的判定即可证得AP∥CD．

解答 解：（1）连接AC、OA，∵PB=1，BC=8，
∴PC=PB+BC=9，
∵PA=3，
∴PA²=PB•PC=9，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{PA}{PC}$，
∵∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
∴∠PAB=∠ACB，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠PAB+∠OAB=∠PCA+∠ABC=90°，
即OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）∵MA²=MB•MP，
∴$\frac{MA}{MB}$=$\frac{MP}{MA}$，
∵∠AMB=∠PMA，
∴△AMB∽△PMA，
∴∠P=∠BAM，
∵∠BAD=∠C，
∴∠P=∠C，
∴AP∥CD．

点评 本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，圆周角定理等腰三角形的性质等，作出辅助线根据直角三角形和等腰三角形是解题的关键．