Question

15．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=30°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，延长AD，BC相交于点E，则DE的长是5$\sqrt{3}$-5．

Answer 1

分析 作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=10，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=$\frac{1}{2}$AC=5，AH=$\sqrt{3}$CH=5$\sqrt{3}$，所以DH=AD-AH=10-5$\sqrt{3}$，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=5，于是可得DE=EH-DH=5$\sqrt{3}$-5．

解答 解：作CH⊥AE于H，如图，
∵AB=AC=10，
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°．
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点B落在点C处，此时点C落在点D处，
∴AD=AB=10，∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，
∴∠E=75°-30°=45°．
在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=5，AH=$\sqrt{3}$CH=5$\sqrt{3}$，
∴DH=AD-AH=10-5$\sqrt{3}$，
在Rt△CEH中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=5，
∴DE=EH-DH=5-（10-5$\sqrt{3}$）=5$\sqrt{3}$-5．
故答案为5$\sqrt{3}$-5．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质．