Question

2．如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤1，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC的长是3；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图象即可解决问题．
（2）分三种情形①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，根据S=S_△ABC-S_△BDF-S_{四边形ECAG}即可解决．
②如图2中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根据S=S_△ABC-S_△BDF-S_{四边形ECAG}即可解决．
③如图3中，根据S=$\frac{1}{2}$CD•CM，求出CM即可解决问题．

解答 解；（1）由图象可知BC=3．
故答案为3．
（2）①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，
由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，
∴△BMD∽△BCA，
∴$\frac{DM}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{DB}{AB}$，
∴DM=$\frac{2x}{\sqrt{13}}$，BM=$\frac{3x}{\sqrt{13}}$，
∵BD=DF，DM⊥BF，
∴BM=MF，
∴S_△BDF=$\frac{6}{13}$x²，
∵EG∥AC，
∴$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴$\frac{EG}{2}$=$\frac{x+2}{3}$，
∴EG=$\frac{2}{3}$（x+2），
∴S_{四边形ECAG}=$\frac{1}{2}$[2+$\frac{2}{3}$（x+2）]•（1-x），
∴S=S_△ABC-S_△BDF-S_{四边形ECAG}=3-$\frac{6}{13}$x²-$\frac{1}{2}$[2+$\frac{2}{3}$（x+2）]•（1-x）=-$\frac{5}{39}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$．
②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，
在RT△ANC中，∵AN²=CN²+AC²，
∴x²=2²+（3-x）²，
∴x=$\frac{13}{6}$，
∴当1＜x≤$\frac{13}{6}$时，S=S_△ABC-S_△BDF=3-$\frac{6}{13}$x²，
③如图3中，当$\frac{13}{6}$＜x≤3时，
∵DM∥AN，
∴$\frac{CD}{CN}$=$\frac{CM}{CA}$，
∴$\frac{3-x}{3-\frac{13}{6}}$=$\frac{CM}{2}$，
∴CM=$\frac{12}{5}$（3-x），
∴S=$\frac{1}{2}$CD•CM=$\frac{6}{5}$（3-x）²，
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{39}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}&{（0≤x≤1）}\\{3-\frac{6}{13}{x}^{2}}&{（1＜x≤\frac{13}{6}）}\\{\frac{6}{5}（3-x）^{2}}&{（\frac{13}{6}＜x≤3）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考压轴题．