Question

11．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

Answer 1

分析 （1）欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠CDO=90°，只要证明△COD≌△COA即可．
（2）根据条件首先证明△OBD是等边三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，推出DE=EC=BO=BD=OA由此根据S_阴=2•S_△AOC-S_扇形OAD即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接OD．
∵四边形OBEC是平行四边形，
∴OC∥BE，
∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠DOC=∠AOC，
在△COD和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠COD=∠COA}\\{OD=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COA，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴CF⊥OD，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，
∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∵∠DBO=∠F+∠FDB，
∴∠FDB=∠EDC=30°，
∵EC∥OB，
∴∠E=180°-∠OBD=120°，
∴∠ECD=180°-∠E-∠EDC=30°，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED=BO，
∵∠EBO=60°，OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB，
∵EB=4，
∴OB=OD═OA=2，
在RT△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，
∴AC=OA•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴=2•S_△AOC-S_扇形OAD=2×$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{120π•{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意寻找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．