Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3$\sqrt{3}$，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是10$\sqrt{3}$或6$\sqrt{3}$-4．

Answer 1

分析 先根据解直角三角形，求得BF的长，再根据旋转求得BF'的长，最后根据四边形BCGF旋转后的两种不同位置进行讨论，求得DN的长．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=9，AD=3$\sqrt{3}$，
∴∠DBA=∠MDN=30°，BD=6$\sqrt{3}$
∵DE=2BE，
∴BE=2$\sqrt{3}$，
∵FG⊥BD，
∴BF=$\frac{BE}{cos∠EBF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4
由旋转可得BF'=BF=4，∠F'BC'=∠FBC=90°，∠BFG=∠BF'G'=60°
①如图，当△DMN是以∠MDN、∠MND为底角的等腰三角形时，∠N=30°
∴tan∠BNF'=$\frac{BF'}{BN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$\frac{4}{BN}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即BN=4$\sqrt{3}$
∴DN=BD+BN=6$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$；
②如图，当△DMN是以∠MDN、∠NMD为底角的等腰三角形时，∠BNM=60°=∠BF'M，
此时，F'与N重合，故BF'=BN=4
∴DN=BD-BN=6$\sqrt{3}$-4．
故答案为：10$\sqrt{3}$或6$\sqrt{3}$-4

点评 本题主要考查了旋转的性质，解决问题的关键是根据旋转的不同角度，得到△DMN是以∠MDN、∠MND为底角的等腰三角形或以∠MDN、∠NMD为底角的等腰三角形．解题时注意，等腰三角形的问题一般需要考虑进行分类讨论．