Question

15．已知：⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC与BD交于点E．
（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；
（2）如图2，若对角线AC⊥BD，圆心O到AD的距离为2，你能求出四边形ABCD的哪一个边的长，并写出解答过程．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到∠BAE=∠FAD，于是结论可得．

解答 （1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴EA•EC=EB•ED；

（2）解：能求出BC的长，
如图2，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，
∴AF为⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
过O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH，OH∥DF，
∵AO=OF，
∴DF=2OH=4，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠ADF=90°，
∵∠ABD=∠F，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{DF}$，
∴BC=DF=4．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．