如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=8.BC=6.CD⊥AB于点D.点P从点D出发.沿线段DC向点C运动.点Q从点C出发.沿线段CA向点A运动.两点同时出发.速度都为每秒1个单位长度.当点P运动到C时.两点都停止．设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长,(2)设△CPQ的面积为S.求S与t之间的函数关系式.并求出△CPQ的面积S的最大值,(3)是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出△CPQ的面积S的最大值；
（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．

分析（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；即可解决问题；
（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t．

解答解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CD．
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=4.8．
∴线段CD的长为4.8；

（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
由题可知DP=t，CQ=t．
则CP=4.8-t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴$\frac{PH}{AC}=\frac{PC}{AB}$．
∴$\frac{PH}{8}=\frac{4.8-t}{10}$．
∴PH=$\frac{96}{25}$-$\frac{4}{5}$t．
∴S=S_△CPQ=$\frac{1}{2}$CQ•PH=$\frac{1}{2}$t（$\frac{96}{25}$-$\frac{4}{5}$t）=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{48}{25}$t=-$\frac{2}{5}$（t²-$\frac{24}{5}$t）=-$\frac{2}{5}$（t-$\frac{12}{5}$）²+$\frac{288}{125}$；
∴当t=$\frac{12}{5}$时，S_最大=$\frac{288}{125}$．

（3）存在，
①若CQ=CP，如图1，
则t=4.8-t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$t．
∵△CHP∽△BCA．
∴$\frac{CH}{BC}=\frac{CP}{AB}$．
∴$\frac{\frac{t}{2}}{6}=\frac{4.8-t}{10}$．
解得；t=$\frac{144}{55}$．
③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t=$\frac{24}{11}$．
综上所述：当t为2.4秒或$\frac{144}{55}$秒或$\frac{24}{11}$秒时，△CPQ为等腰三角形．