Question

11．（1）如图1，梯形ABCD中对角线交于点O，AD∥BC，请证明S_△AOB=S_△DOC；
（2）如图2，等腰直角三角形ABC，AB=AC，∠A=90°，D为边BC上一动点，过D分别作DE∥AC，DF∥AB，连结BF交DE于M，连结CE交DF于N，求证：DM=DN．
（提示：运用（1）中的结论，面积法）

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD中，AD∥BC，根据同底等高的三角形的面积相等得到S_△ABC=S_△DCB，根据面积的和差即可得到结论；
（2）连接MN，根据相似三角形的性质得到$\frac{FN}{DN}$=$\frac{FC}{ED}$，$\frac{FM}{BM}$=$\frac{FD}{BE}$，推出MN∥BC，根据等腰三角形的判定即可得到结论．

解答 证明：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴S_△ABC=S_△DCB，
∵S_△ABC-S_△BOC=S_△DCB-S_△BOC，
∴S_△AOB=S_△DOC；
（2）连接MN，
∵DE∥AC，
∴△EDN∽△CFN，
∴$\frac{FN}{DN}$=$\frac{FC}{ED}$，
同理$\frac{FM}{BM}$=$\frac{FD}{BE}$，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°，∠BDE=∠CDF=45°，
∴FC=FD，ED=BE，∴$\frac{FC}{ED}$=$\frac{FD}{BE}$，
∴$\frac{FN}{DN}$=$\frac{FM}{BM}$，
∴MN∥BC，
∴∠NMD=∠BDE=45°，∠MND=∠CDF=45°，
∴∠NMD=∠MND，
∴DM=DN．

点评 本题考查了梯形，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，知道同底等高的三角形的面积相等是解题的关键．