Question

2．如图，四边形ABCD为正方形，点E、F在对角线BD上，点G在BC边上，EG⊥AE，GF⊥BD，若BF=3DE，CG=$\sqrt{2}$，则线段AE的长为5．

Answer 1

分析 如图，连接AC交BD于点O，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，首先证明△EMA≌△ENG，推出AE=EG，再证明△AEO≌△EGF推出EF=OA=$\frac{1}{2}$BD，设DE=x，则BF=3x，EF=4x，BD=AC=8x，BC=4$\sqrt{2}$x，BG=3$\sqrt{2}$x，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC交BD于点O，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM=∠EBN，
∴EM=EN，
∵∠AEG=∠MEN=90°，
∴∠AEM=∠GEN，
在△EMA和△ENG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠NEG}\\{EM=EN}\\{∠AME=∠GNE}\end{array}\right.$，
∴△EMA≌△ENG，
∴AE=EG，
∵∠AEO+∠FEG=90°．∠FEG+∠FGE=90°，
∴∠AEO=∠EGF，
在△AEO和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠FGE}\\{∠AOE=∠GFE}\\{AE=EG}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△EGF，
∴AO=EF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∵BF=3DE，
∴设DE=x，则BF=3x，EF=4x，BD=AC=8x，BC=4$\sqrt{2}$x，BG=3$\sqrt{2}$x．
∴GC=BC-BG=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$，
∴x=1，
∴BF=FG=3，EF=4，
∴EG=$\sqrt{E{F}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AE=EG=5．
故答案为5．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质．勾股定理等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会利用方程解决问题，属于中考常考题型．