Question

14．如图抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3），
（1）求该抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△AOP的面积是△BOC的面积的4倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A（-3，0）、C（0，3）代入y=-x²+bx+c，根据待定系数法即可求得解析式；
（2）先求得B的坐标，然后求得△BOC的面积，即可求得△AOP的面积，设点P的坐标为（x，-x²-2x+3）．利用三角形的面积公式得到-x²-2x+3=±4．通过解方程来求x的值，则易求点P的坐标．

解答 解：（1）根据题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）存在一点P，使得△AOP的面积是△BOC的面积的4倍．
令y=0，则y=-x²-2x+3=0，
解得x=-3或x=1，
∴B（1，0），
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$
设点P的坐标为（x，-x²-2x+3）
∵S_△AOP=4S_△BOC=6，
∴$\frac{1}{2}$×3×|-x²-2x+3|=6
∴-x²-2x+3=±4．
当-x²-2x+3=4时，
解得x₁=x₂=-1，
当-x²-2x+3=-4时，此方程无解；
∴点P的坐标为（-1，4）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．