Question

如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°．
（1）不添加辅助线，图中有几对全等的三角形，请将其写出（不需要证明）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定,全等三角形的判定

专题：几何图形问题

分析：（1）根据三角形全等的判定方法数出所有的全等三角形即可；
（2）要证DC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．

解答：（1）解：全等的三角形有△AOC≌△DBC、△ABC≌△DOC；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=OB=BD，△BCD为等腰三角形，∠CBD=120°．
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．