Question

4．（1）当整数x为何整数时，分式$\frac{2}{x+1}$的值也是整数？
（2）化简代数式$\frac{x+4}{x+1}$-$\frac{x-1}{x}$÷$\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+2x}}$，并直接写出x为何整数时，该代数式的值也为整数．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到当整数x为何整数时，分式$\frac{2}{x+1}$的值也是整数；
（2）先化简题目中的代数式，可以发现与（1）的关系，从而可以解答本题．

解答 解：（1）若分式$\frac{2}{x+1}$的值也是整数，
则x+1=±1或x+1=±2，
解得，x₁=0，x₂=-2，x₃=1，x₄=-3，
即当x为0、-2、1或3时，分式$\frac{2}{x+1}$的值也是整数；
（2）$\frac{x+4}{x+1}$-$\frac{x-1}{x}$÷$\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+2x}}$
=$\frac{x+4}{x+1}-\frac{x-1}{x}×\frac{x（x+2）}{（x+1）（x-1）}$
=$\frac{x+4}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}$
=$\frac{2}{x+1}$，
由（1）知当x为0、-2、1或3时，分式$\frac{2}{x+1}$的值也是整数，
故当x为0、-2、1或3时，代数式$\frac{x+4}{x+1}$-$\frac{x-1}{x}$÷$\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+2x}}$的值也是整数．

点评 本题考查分式的混合运算、分式的值，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法，会求分式的值．