Question

18．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，如图①所示，∠BAB′=θ，$\frac{A{B}^{′}}{AB}$=$\frac{{B}^{′}{C}^{′}}{BC}$=$\frac{A{C}^{′}}{AC}$=n，我们将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，$\sqrt{3}$]得到△AB′C′，则S_△AB'C：S_△ABC=3；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得到△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值；
（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得到△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．

Answer 1

分析 （1）根据变换[60°，$\sqrt{3}$]的定义，即可解决问题．
（2）想办法求出∠CAC′，以及$\frac{AC′}{AC}$的值即可．
（3）想办法求出∠BAB′，以及$\frac{B′C′}{BC}$的值即可

解答 解：（1）如图①中，设直线BC与直线B′C′的交点为H，AB′交BH于O．

∵△ABC∽△AB′C′，
AB：AB′=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC：S_△AB′C′=3，
∵∠B=∠B′，∠AOB=∠HOB′，
∴∠OHB=∠BAO=60°，
故答案为3，60°．

（2）如图②中，

∵四边形ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．
在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°，∠BAB′=60°，
∴n=$\frac{AB′}{AB}$=2．

（3）如图③中，

∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°
∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°，
∴θ=∠BAB′=72°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB²=CB•B′B=CB•（BC+CB′），
∵CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB²=1•（1+AB）
∴AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵AB＞0，
∴n=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的性质、一元二次方程、变换[θ，n]的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．