Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象在第一象限内相交于点A（m，2），交x轴、y轴分别于点C、D，且C是AD的中点，S_△ODA=4．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴的右侧直接写出不等式ax+b≤$\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）作AB⊥x轴于B，通过△COD≌△CBA得出OD=AB=2，从而求得D（0，-2），进而根据S_△ODA=4求得A的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象即可求得．

解答 解：（1）作AB⊥x轴于B，
在△COD和△CBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠ACB}\\{∠DOC=∠ABC=90°}\\{DC=AC}\end{array}\right.$
∴△COD≌△CBA（AAS），
∴OD=AB，
∵A（m，2），
∴OD=AB=2，
∴D（0，-2），
∵S_△ODA=4．
∴$\frac{1}{2}$OD•x_A=4，则x_A=4，
∴A（4，2），
把A的坐标代入反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$得，k=8，
把A、D的坐标代入一次函数y₁=ax+b得，$\left\{\begin{array}{l}{2=4a+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴该反比例函数为y₂=$\frac{8}{x}$，一次函数的解析式为y₁=x-2．
（2）在y轴的右侧，不等式ax+b≤$\frac{k}{x}$的解集为：0＜x≤4．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点，通过三角形全等和三角形面积求得A、D的坐标是解题的关键．