如图.直线y=-x+4与x轴.y轴分别交于点C.B.抛物线y=ax2+bx+c经过点B.C.并与x轴交于另一点A.其顶点为P.tan∠OAB=4．(1)求抛物线的关系式及顶点坐标,(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q.使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形?若存在.求Q点的坐标,若不存在.请说明理由．(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M.N.使以A.C.M.N为顶点的四边形为平行四边形.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点C、B，抛物线y=ax²+bx+c经过点B、C，并与x轴交于另一点A，其顶点为P，tan∠OAB=4．
（1）求抛物线的关系式及顶点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求此时平行四边形的面积．

分析（1）先由一次函数线y=-x+4求出C、B的坐标，再由三角函数值求出点A的坐标，再由待定系数法代入抛物线的解析式就可以求出结论；
（2）如图1，假设存在点Q使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，设Q点的坐标为（$\frac{5}{2}$，m），对称轴为x=$\frac{5}{2}$交x轴于F点，过点B作BE垂直于x=$\frac{5}{2}$于点E，根据勾股定理建立方程求出m的值即可；
（3）分情况讨论，如图2，当AC为平行四边形的对角线时，由对称轴x=$\frac{5}{2}$是AC的中垂线，可以得出M点与顶点P（$\frac{5}{2}，-\frac{9}{4}$）重合，N点为点P关于x轴的对称点，就可以求出M的坐标为（$\frac{5}{2}，\frac{9}{4}$），进而得出结论；当AC为平行四边形的一，边时，存在两点M₂、M₃（如图3），先求出M₂的坐标，根据轴对称的性质，就可以得出结论．

解答解：（1）∵直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点C、B，
∴C（4，0），B（0，4）．
∵tan∠OAB=4，
∴A（1，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点B、C，
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），代入点B（0，4），得
4a=4，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-4），即y=x²-5x+4．
∴y=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴顶点P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
（2）如图1，假设存在点Q使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，

设Q点的坐标为（$\frac{5}{2}$，m），对称轴为x=$\frac{5}{2}$交x轴于F点，过点B作BE垂直于x=$\frac{5}{2}$于点E，
在Rt△AQF中，AQ²=AF²+QF²=$（{\frac{3}{2}}^{\;}）^{2}$+m²，
在Rt△BQE中，BQ²=BE²+EQ²=$（\frac{5}{2}）^{2}$+（4-m）²，
∵AQ=BQ，
∴$（{\frac{3}{2}}^{\;}）^{2}$+m²=$（\frac{5}{2}）^{2}$+（4-m）²，
∴m=$\frac{5}{2}$，
∴存在满足条件的点Q，坐标为（$\frac{5}{2}，\frac{5}{2}$）；
（3）如图2，当AC为平行四边形的对角线时，

∵对称轴x=$\frac{5}{2}$是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（$\frac{5}{2}，-\frac{9}{4}$）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（$\frac{5}{2}，\frac{9}{4}$）．
∴S_{平行四边形AMCN}=$\frac{1}{2}$AC•PN=$\frac{27}{4}$；
当AC为平行四边形的一，边时，存在两点M₂、M₃（如图3），易得M₂的横坐标为x=$\frac{5}{2}+3$=$\frac{11}{2}$，

把x=$\frac{11}{2}$代入y=x²-5x+4，
的M₂的纵坐标y=$\frac{27}{4}$，
∴S_{平行四边形ANM2C}=3×$\frac{27}{4}$=$\frac{81}{4}$．
当点M在M3的位置时，易得S_{平行四边形ACNM3}=S_{平行四边形ANM2C}=$\frac{81}{4}$．
∴平行四边形的面积为$\frac{27}{4}$或$\frac{81}{4}$．