Question

10．如图，已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．
（1）如图1，若∠CPA=30°，求∠CDP的度数；
（2）如图2，若∠CPA≠30°，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠CDP的度数．

Answer 1

分析 （1）连接OC，只要证明∠A=30°，∠APD=15°，即可计算∠CDP．
（2）由∠COP+∠CPO=90°，得2（∠A+∠APD）=90°，即∠A+∠APD=45°，由此即可计算．

解答 解：（1）连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵∠CPA=30°，
∴∠COP=60°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=15°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．
（2）成立．
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，
∵PD是∠CPA的平分线，
∴∠APC=2∠APD，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=2∠A，
在Rt△OCP中，∠OCP=90°，
∴∠COP+∠OPC=90°，
∴2（∠A+∠APD）=90°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．
所以（1）中结论依然成立．

点评 本题考查切线的性质、三角形的外角的性质、圆的有关知识，解题的关键是利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，属于中考常考题型．