Question

15．先化简，再求值：
$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}-ab}$÷（$\frac{3{b}^{2}}{a-b}$-a-b），其中a，b满足$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{2a-b=0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 首先解方程组求得a和b的值，然后化简所求的分式，化简时首先对括号内的分式通分相加，然后把除法转化为乘法，再计算加减即可化简，最后代入a和b的值计算即可．

解答 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{2a-b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
原式=$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{2{a}^{2}}{a（a-b）}$÷$\frac{3{b}^{2}-（a+b）（a-b）}{a-b}$
=$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{2{a}^{2}}{a（a-b）}$÷$\frac{4{b}^{2}-{a}^{2}}{a-b}$
=$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{2{a}^{2}}{a（a-b）}$•$\frac{a-b}{（2b+a）（2b-a）}$
=$\frac{1}{a+2b}$+$\frac{2}{（2b+a）（2b-a）}$
=$\frac{2b-a+2}{（2b+a）（2b-a）}$．
当$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$时，原式=$\frac{4-1+2}{（4+1）（4-1）}$=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了分式的化简求值，先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．