Question

15．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，点O是AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点E，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BE平分∠ABD；
（2）当BD=2，sinC=$\frac{1}{2}$时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据等腰三角形三线合一的性质和切线的性质得出OE⊥AC，BD⊥AC，证得OE∥BD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）根据sinC=$\frac{1}{2}$求出AB=BC=4，设⊙O 的半径为r，则AO=4-r，得出sinA=sinC=$\frac{1}{2}$，根据OE⊥AC，得出sinA=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{r}{4-r}$=$\frac{1}{2}$，即可求出半径．

解答 （1）证明：连接OE，
∵AC与⊙O相切，
∴OE⊥AC，
∵AB=BC且D是BC中点，
∴BD⊥AC，
∴OE∥BD，
∴∠OEB=∠DBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠ABE=∠DBE，
∴BE平分∠ABD；
（2）解∵BD=2，sinC=$\frac{1}{2}$，BD⊥AC，
∴BC=4，
∴AB=4，
设⊙O的半径为r，则AO=4-r
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC=$\frac{1}{2}$，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC
∴sinA=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{r}{4-r}$=$\frac{1}{2}$，
∴r=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形三线合一的性质，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形等，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想．