题目内容
如图1，在直角坐标系xOy轴，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=16cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以4cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以5cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以3cm/s的速度向点O移动，如果P、Q、R同时移动，移动时间为t（0≤t≤4）s．
（1）点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，点R的坐标为 ；（用含有字母t的代数式表示）
（2）球场△PQR的面积S（cm2）与动点移动时间t（s）的函数关系式，并求面积S为42cm2时t的值；
（3）如图2，以PQ为直径作⊙D，试求t为何值时，⊙D与△OAB的一边相切？
（1）点P的坐标为
（2）球场△PQR的面积S（cm2）与动点移动时间t（s）的函数关系式，并求面积S为42cm2时t的值；
（3）如图2，以PQ为直径作⊙D，试求t为何值时，⊙D与△OAB的一边相切？
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）根据OA=16cm，OB=12cm及P、Q、R的移动速度即可得出各点坐标；
（2）S=S△AOB-S△POR-S△APQ-S△BQR即可得出S与t的关系式，再根据S=4242cm2可得出t的值；
（3）先根据勾股定理求出AB的长，再根据⊙D与△OAB的AB边相切；⊙D与△OAB的OA边相切及⊙D与△OAB的OB边相切三种情况进行讨论即可．
（2）S=S△AOB-S△POR-S△APQ-S△BQR即可得出S与t的关系式，再根据S=4242cm2可得出t的值；
（3）先根据勾股定理求出AB的长，再根据⊙D与△OAB的AB边相切；⊙D与△OAB的OA边相切及⊙D与△OAB的OB边相切三种情况进行讨论即可．
解答：解：（1）∵动点P从点O开始沿OA以4cm/s的速度向点A移动，
∴P（4t，0）；
∵OA=16cm，OB=12cm，动点Q从点A开始沿AB以5cm/s的速度向点B移动，
∴点Q的坐标为（16-4t，3t）；
同理，点R的坐标为（0，12-3t）．
故答案为：（4t，0），（16-4t，3t），（0，12-3t）；
（2）∵由（1）的结论可知，点Q到x轴的距离为3t，到y轴的距离为（16-4t），PA=16-4t，
∴S=S△AOB-S△POR-S△APQ-S△BQR
=
×16×12-
×4t×（12-3t）-
×（16-4t）×3t-
×3t×（16-4t）
=18t2-72t+96，
当S=42时，18t2-72t+96=42，解得t1=1，t2=3．
故S与t的函数关系式为S=18t2-72t+96，当t=1或3时，S的值为42cm2．
（3）在Rt△ABC中，
∵OA=16cm，OB=12cm，
∴AB=
=
=20cm，
当⊙D与△OAB的AB边相切时，如图1所示，PQ⊥AB，
∵∠AOB=∠AQP=90°，∠BAO为公共角，
∴△APQ∽△ABC，
∴
=
，即
=
，解得t=
；
当⊙D与△OAB的OA边相切时，如图2所示，同上可得t=2；
当⊙D与△OAB的OB边相切时，如图3所示，过D、Q两点分别作坐标轴的垂线段，垂足分别为H、F、G、E，易知DF为梯形EQPO的中位线，
∴DF=
（EQ+OP）=8，即PQ=16，
在Rt△PQG中，（3t）2+[4t-（16-4t）]2=162，解得t=0或t=
．
综上所述，当t为0s或s2或
s或
s时，⊙D与△OAB的一边相切．
∴P（4t，0）；
∵OA=16cm，OB=12cm，动点Q从点A开始沿AB以5cm/s的速度向点B移动，
∴点Q的坐标为（16-4t，3t）；
同理，点R的坐标为（0，12-3t）．
故答案为：（4t，0），（16-4t，3t），（0，12-3t）；
（2）∵由（1）的结论可知，点Q到x轴的距离为3t，到y轴的距离为（16-4t），PA=16-4t，
∴S=S△AOB-S△POR-S△APQ-S△BQR
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=18t2-72t+96，
当S=42时，18t2-72t+96=42，解得t1=1，t2=3．
故S与t的函数关系式为S=18t2-72t+96，当t=1或3时，S的值为42cm2．
（3）在Rt△ABC中，
∵OA=16cm，OB=12cm，
∴AB=
| OA2+OB2 |
| 162+122 |
当⊙D与△OAB的AB边相切时，如图1所示，PQ⊥AB，
∵∠AOB=∠AQP=90°，∠BAO为公共角，
∴△APQ∽△ABC，
∴
| AP |
| AQ |
| AB |
| OA |
| 16-4t |
| 5t |
| 20 |
| 16 |
| 64 |
| 41 |
当⊙D与△OAB的OA边相切时，如图2所示，同上可得t=2；
当⊙D与△OAB的OB边相切时，如图3所示，过D、Q两点分别作坐标轴的垂线段，垂足分别为H、F、G、E，易知DF为梯形EQPO的中位线，
∴DF=
| 1 |
| 2 |
在Rt△PQG中，（3t）2+[4t-（16-4t）]2=162，解得t=0或t=
| 256 |
| 73 |
综上所述，当t为0s或s2或
| 64 |
| 41 |
| 256 |
| 73 |
点评：本题考查的是圆的综合题，熟知切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．
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