Question

如图，四边形OABC为矩形，OA=4，OC=5，正比例函数y=2x的图象交AB于点D，连接DC，动点Q从D点出发沿DC向终点C运动，动点P从C点出发沿CO向终点O运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了ts．
（1）求△PCQ的面积S_△PCQ=？（用t的代数式表示）；
（2）问：是否存在时刻t使S_△DOP=S_△PCQ？为什么？
（3）当t为何值时，△DPQ是一个以DP为腰的等腰三角形？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）分别过点Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC与点E、F，对于直线y=2x，令y=4求出x的值，确定出D坐标，进而求出BD，BC的长，利用勾股定理求出CD的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE与三角形CDF相似，由相似得比例表示出QE，由底PC，高QE表示出三角形PQC面积即可；
（2）不存在，理由为：表示出三角形ODP面积，令S_△DOP=S_△PCQ，求出t=5，此时Q与C重合，不能构成三角形；
（3）由三角形CQE与三角形CDF相似，利用相似得比例表示出CE，PE，进而利用勾股定理表示出PQ²，DP²，以及DQ，分两种情况考虑：①当DP=PQ；②当DP=DQ，求出t的值即可．

解答：解：（1）分别过点Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC与点E、F，
对于直线y=2x，令y=4，得到x=2，即D（2，4），
∴BD=OC-AD=5-2=3，
∵BC=OA=4，
∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得：CD=

BD2+BC2

=5，
∵∠DCF=∠QCE，∠DFC=∠QEC=90°，
∴△CQE∽△CDF，
∴

CQ

CD

=

QE

DF

，即

5-t

5

=

QE

4

，
∴QE=

4(5-t)

5

，
则S_△CPQ=

1

2

×t×

4

5

（5-t）=

2

5

t（5-t）=-

2

5

t²+2t；

（2）不存在，理由为：
根据题意得：S_△ODP=

1

2

×4×（5-t）=2（5-t），
令2（5-t）=-

2

5

t²+2t，
解得：t₁=t₂=5，
则此时Q与C重合，不能构成三角形；

（3）∵△CQE∽△CDF，
∴CE=

3

5

（5-t），PE=t-

3

5

（5-t）=

8

5

t-3，
∴根据勾股定理得：PQ²=

16(5-t)2

25

+（

8

5

t-3）²=

16

5

t²-16t+25，DP²=4²+（3-t）²，DQ=t，
分两种情况考虑：
①当DP=PQ时，4²+（3-t）²=

16

5

t²-16t+25，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

50

11

；
②当DP=DQ时，4²+（3-t）²=t²，
解得：t=

25

6

，
答：当t=

25

6

或t=

50

11

时，△DPQ是一个以DP为腰的等腰三角形．

点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解本题的关键．