Question

13．计算：1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…共计2016项的总和．

Answer 1

分析 记S=1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4031}{{2}^{2015}}$ ①，两边都乘以$\frac{1}{2}$可得$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{4029}{{2}^{2015}}$+$\frac{4031}{{2}^{2016}}$ ②，①-②后可得$\frac{1}{2}$S=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2015}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，即$\frac{1}{2}$S=1+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$）-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，再进一步利用求和公式即可得．

解答 解：记S=1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4031}{{2}^{2015}}$ ①，
∴$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{4029}{{2}^{2015}}$+$\frac{4031}{{2}^{2016}}$ ②，
①-②，得：$\frac{1}{2}$S=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2015}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
$\frac{1}{2}$S=1+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$）-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
$\frac{1}{2}$S=1+2×$\frac{\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{2}）^{2015}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
$\frac{1}{2}$S=1+2×[1-（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵]-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
$\frac{1}{2}$S=1+2-$\frac{1}{{2}^{2014}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
∴S=6-$\frac{4+4031}{{2}^{2015}}$=6-$\frac{4035}{{2}^{2015}}$．

点评 本题主要考查等比数列的求和，掌握等比数列的求和公式是解题的关键．