题目内容
△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∠CDE=∠AOB=90°，DC=DE=1，OA=OB=a（a＞1）．
（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．
①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；
②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；
③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；
（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．
（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．
①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；
②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；
③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；
（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．
考点：几何变换综合题
专题：
分析：（1）①利用△CDE≌△AOB得出BC=AE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
②作辅助线，利用△COF≌△EOA及三角形中位线得出OM=
AE．
③分两种情况，当OC与OB重合时OM最大，当OC在BO的延长线上时OM最小，据此求出OM的取值范围．
（2）分两种情况：当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．由DM+OM≥OF求出直角边a的最大值；当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上时，利用
△EHD≌△DOC，得出OD=EH，在Rt△DHE中，运用勾股定理ED2=DH2+EH2，得出方程，由△判定出a的最大值．
②作辅助线，利用△COF≌△EOA及三角形中位线得出OM=
| 1 |
| 2 |
③分两种情况，当OC与OB重合时OM最大，当OC在BO的延长线上时OM最小，据此求出OM的取值范围．
（2）分两种情况：当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．由DM+OM≥OF求出直角边a的最大值；当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上时，利用
△EHD≌△DOC，得出OD=EH，在Rt△DHE中，运用勾股定理ED2=DH2+EH2，得出方程，由△判定出a的最大值．
解答：解：（1）①∵△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，
∴CD=ED，AO=B0，∠CDE=∠AOB，
在△CDE和△AOB中，
，
∴△CDE≌△AOB（SAS），
∴BC=AE
∵M为BC中点，
∴OM=
BC，
∴OM=
AE．
②猜想：OM=
AE．
证明：如图2，延长BO到F，使OF=OB，连接CF，
∵M为BC中点，
∴OM=
CF，
∵△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，
∴CD=ED，AO=BO=OF，∠CDE=∠AOB，
∵∠AOC+∠COB=∠BOE+∠COB=90°，
∴∠AOC=∠BOE，
∠FOC=∠AOE，
在△COF和△EOA中，
，
∴△COF≌△EOA，
∴CF=AE，
∴OM=
AE．
③Ⅰ、如图3，当OC与OB重合时，OM最大，
OM=
+1=
，
Ⅱ、如图4，当OC在BO的延长线上时，OM最小，
OM=
-1=
，
所以
≤OM≤
，
（2）解：根据△CDE的对称性，只需分两种情况：
①如图5，
当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上． 作OF⊥AB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OM．
∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB=∠CDE=90°，OA=OB=a（a＞1），DC=DE=1，?????
∴AB=
a，OF=
AB=
a，
∴CE=
，DM=
CE=
，
在RT△COE中，OM=
CE=
，
在RT△DOM中，DM+OM≥OD，
又∵OD≥OF，
∵DM+OM≥OF，即
+
≥
a，
∴a≤2，
∴直角边a的最大值为2．
②如图6，
当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上，作EH⊥AO于点H．
∵∠AOB=∠CDE=∠DHE=90°，
∵∠HED+∠EDH=∠CDO+∠EDH=90°，
∴∠HED=∠CDO，
∵DC=DE，
在△EHD和△DOC中，
∴△EHD≌△DOC（AAS）
设OD=x，
∴OD=EH=AH=x，DH=a-2x，
在Rt△DHE中，ED2=DH2+EH2，
∴1=x2+（a-2x）2，
整理得，5x2-4ax+a2-1=0，
∵x是实数，
∴△=（4a）2-4×5×（a2-1）=20-4a2≥0，
∴a2≤5，
∴a2的最大值为5，
∴a的最大值为
．?
综上所述，a的最大值为
．???
∴CD=ED，AO=B0，∠CDE=∠AOB，
在△CDE和△AOB中，
|
∴△CDE≌△AOB（SAS），
∴BC=AE
∵M为BC中点，
∴OM=
| 1 |
| 2 |
∴OM=
| 1 |
| 2 |
②猜想：OM=
| 1 |
| 2 |
证明：如图2，延长BO到F，使OF=OB，连接CF，
∵M为BC中点，
∴OM=
| 1 |
| 2 |
∵△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，
∴CD=ED，AO=BO=OF，∠CDE=∠AOB，
∵∠AOC+∠COB=∠BOE+∠COB=90°，
∴∠AOC=∠BOE，
∠FOC=∠AOE，
在△COF和△EOA中，
|
∴△COF≌△EOA，
∴CF=AE，
∴OM=
| 1 |
| 2 |
③Ⅰ、如图3，当OC与OB重合时，OM最大，
OM=
| a-1 |
| 2 |
| a+1 |
| 2 |
Ⅱ、如图4，当OC在BO的延长线上时，OM最小，
OM=
| a+1 |
| 2 |
| a-1 |
| 2 |
所以
| a-1 |
| 2 |
| a+1 |
| 2 |
（2）解：根据△CDE的对称性，只需分两种情况：
①如图5，
当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上． 作OF⊥AB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OM．
∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB=∠CDE=90°，OA=OB=a（a＞1），DC=DE=1，?????
∴AB=
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴CE=
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
在RT△COE中，OM=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
在RT△DOM中，DM+OM≥OD，
又∵OD≥OF，
∵DM+OM≥OF，即
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴a≤2，
∴直角边a的最大值为2．
②如图6，
当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上，作EH⊥AO于点H．
∵∠AOB=∠CDE=∠DHE=90°，
∵∠HED+∠EDH=∠CDO+∠EDH=90°，
∴∠HED=∠CDO，
∵DC=DE，
在△EHD和△DOC中，
|
∴△EHD≌△DOC（AAS）
设OD=x，
∴OD=EH=AH=x，DH=a-2x，
在Rt△DHE中，ED2=DH2+EH2，
∴1=x2+（a-2x）2，
整理得，5x2-4ax+a2-1=0，
∵x是实数，
∴△=（4a）2-4×5×（a2-1）=20-4a2≥0，
∴a2≤5，
∴a2的最大值为5，
∴a的最大值为
| 5 |
综上所述，a的最大值为
| 5 |
点评：本题主要考查了几何变换综合题及三角形全等的判定和性质，解题的关键是在取最大值时，对三角形的位置进行讨论分别求值．
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