Question

滚铁环是一项老少皆宜的体育运动，如图，铁环⊙O的半径为34cm，且与地面AE切于点A．钩BD的长为4cm，柄BC的长为69cm，且BD⊥BC于点B．某一时刻，DB的延长线经过圆心O，且CB的延长线经过切点A，这时，握手点C离地面的高度CE=

 

cm，点D到CE的距离DF的长度为

 

cm．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OA，延长FD交OA于G，根据切线的性质求得OA⊥AE，进而求得∠AOB=∠CAE，从而求得△OAB∽△ACE，根据勾股定理求得AB，再根据相似三角形对应边成比例求得CE，根据AAS求得△OAB≌△ODG，得出GD=AB=16cm，根据勾股定理求得AE，从而求得GF，即可求得DF的长．

解答：解：连接OA，延长FD交OA于G，
∵铁环⊙O与地面AE切于点A．
∴OA⊥AE，
∴∠OAB+∠CAE=90°，
∵BD⊥BC，
∴∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠CAE，
∵∠ABO=∠AEC=90°，
∴△OAB∽△ACE，
∴

AO

AC

=

AB

CE

，
∵OB=34-4=30cm，OA=34cm，
∴AB=

OA2-OB2

=16cm，
∴AC=16+69=85cm，
∴

34

85

=

16

CE

，解得，CE=40cm，
在△OAB和△ODG中，

∠AOB=∠DOG ∠ABO=∠DGO OA=OD

，
∴△OAB≌△ODG（AAS），
∴DG=AB=16cm，
∵GF=AE=

AC2-CE2

=

852-402

=75cm，
∴DF=GF-GD=75-16=59cm．
故答案为40，59．

点评：本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用以及三角形全等的判定和性质，解此题的关键是求出∠AOB=∠CAE，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．