Question

已知在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD上一点，若△ADQ与△PCQ相似，求DQ的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的性质

专题：

分析：运用分类讨论的数学思想，按△ADQ∽△PCQ，或△ADQ∽△QCP两种情况，列出比例式逐一解析，即可解决问题．

解答：解：如图，∵四边形ABCD为正方形，
且BC=4，BP=3PC，
∴BP=3，CP=1；设DQ=λ，
则CQ=4-λ；
若△ADQ∽△PCQ，
则

AD

PC

=

DQ

CQ

，即

4

1

=

λ

4-λ

，
解得：λ=

16

5

；
若△ADQ∽△QCP，
则

AD

QC

=

DQ

CP

，即

4

4-λ

=

λ

1

，
解得：λ=2，
∴DQ的长为2或

16

5

．

点评：该题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等知识点的应用问题；灵活运用分类讨论的数学思想，数形结合，逐一解析是解题的关键．