Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC外角平分线，BE⊥AE，连接DE．
（1）求证：DA⊥AE；
（2）求证：四边形DCAE是平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据三线合一定理证明AD平分∠BAC，然后根据AE是∠BAC外角平分线，即可证得∠DAE=90°，即可证得DA⊥AE；
（2）根据平行四边形的定义即可证得．

解答：证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠BAD，即∠BAD=

1

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∠BAC，
又∵AE是∠BAC外角平分线，即∠BAE=

1

2

∠BAF，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=

1

2

（∠BAC+∠BAF）=90°，
∴DA⊥AE；
（2）∵AD⊥BC，DA⊥AE，
∴BD∥AE，即CD∥AE．
∵BE⊥AE，DA⊥AE，
∴BE∥AD，
∴四边形BDAE是平行四边形．
∴BD=AE，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
又∵CD∥AE，
∴四边形DCAE是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的判定与等腰三角形的性质定理，等腰三角形的底边上的中线、高线以及顶角的平分线，三线合一．