Question

3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利50元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

Answer 1

分析 （1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（50-x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（50-x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．
（2）列出商场平均每天赢利y与件衬衫降价x之间的函数关系式，并化为顶点式，即可解答．

解答 解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（50-x）（20+2x）=1600，
整理得2x²-80x+600=0
解得x₁=30，x₂=10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降30元．
答：每件衬衫应降价30元．
（2）设商场平均每天赢利y元，则
y=（20+2x）（50-x）
=-2x²+80x+1000
=-2（x²-40x-400）=-2[（x-20）²-625]
=-2（x-20）²+1800．
∴当x=120时，y取最大值，最大值为1800．
答：每件衬衫降价20元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1800元．

点评 本题主要考查了二次函数及其应用问题，此类问题是运用数学知识解决现实中的最值问题的常用方法和经典模型，要牢固掌握二次函数的性质；第1小题中降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件．