Question

8．如图，A（2，1）是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点A，交BC于点E，交BD于点F，若CE=$\frac{2}{3}$．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点F的坐标；
（3）连接EF、DC，求证：EF∥DC．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$中可求出k的值，从而得到双曲线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x，再利用E点的纵坐标为$\frac{2}{3}$和反比例函数图象上点的坐标特征可确定E（3，$\frac{2}{3}$），接着根据一次函数图象上点的坐标特征确定B（3，$\frac{3}{2}$），则F的纵坐标为$\frac{3}{2}$，
然后再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定F点坐标；
（3）先得到BD=3，BC=$\frac{3}{2}$，BF=$\frac{5}{3}$，BE=$\frac{5}{6}$，再通过计算得到$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{5}{9}$，加上∠FBE=∠DBC，则可判断△BFE∽△BDC，所以∠BFE=∠BDC，于是可判断EF∥CD．

解答 解：（1）把A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k+1×2=2，
所以双曲线解析式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）设直线OB解析式为y=ax，
把A（2，1）坐标代入得：1=2a，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∵四边形OCBD为矩形，CE=$\frac{2}{3}$，
∴E点的纵坐标为$\frac{2}{3}$，
当y=$\frac{2}{3}$时，$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{3}$，解得x=3，则E（3，$\frac{2}{3}$），
∴B的横坐标为3，
当x=3时，y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$，则B（3，$\frac{3}{2}$），
∴F的纵坐标为$\frac{3}{2}$，
当y=$\frac{3}{2}$时，$\frac{2}{x}$=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴F（$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）∵B（3，$\frac{3}{2}$），F（$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$），E（3，$\frac{2}{3}$），
∴BD=3，BC=$\frac{3}{2}$，BF=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，BE=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{5}{9}$，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$，
而∠FBE=∠DBC，
∴△BFE∽△BDC，
∴∠BFE=∠BDC，
∴EF∥CD．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．