Question

12．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=30°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D，$\widehat{BE}$是点B旋转形成的弧．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求$\widehat{BE}$的长．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得到AE=AF=AB=AC，再判断出△ABE≌△ACF；
（2）先由CF∥AB，得到∠ACF=30°，再求出∠BAC，然后用弧长公式计算即可．

解答 解：（1）由旋转得，AB=AE=AC=AF，∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF；
（2）由（1）有△ABE≌△ACF，
∴∠ACF=∠ABE
∵四边形ABDF是菱形，
∴CF∥AB，
∴∠ACF=∠BAC=∠ABE=30°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠BAE=120°，
∴$\widehat{BE}$的长为$\frac{120×π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

点评 此题是旋转的性质题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，圆的性质，解本题的关键件是求出∠BAE．