Question

6．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，直线CD是⊙O的切线，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4$\sqrt{5}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线性质得到OC∥AD，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，根据平行线的性质即可证得结论；
（2）连接BC，证△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．

解答 解：（1）连接OC，
∵直线CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴AD⊥DC；
（2）∵OC⊥CD，AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{DA}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{DA}{4\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{10}$，
∴DA=8．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质，主要考查学生的推理能力．