Question

如图，以正方形ABCD的一边AB为斜边向外作Rt△AEB，过点E作EF⊥AB，连接EO
（1）若S_△AEB=6，EF=2，求正方形ABCD的面积；
（2）求证：∠BEO=∠AEO．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）利用S_△AEB的面积列式求出AB，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解；
（2）取AB的中点G，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=EG=AG=BG，然后判断出点A、E、B、O四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BEO=∠BAO，∠AEO=∠ABO，再根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠BAO=∠ABO=45°，从而得到∠BEO=∠AEO=45°．

解答：（1）解：∵EF⊥AB，
∴S_△AEB=

1

2

AB•EF=

1

2

AB•2=6，
解得AB=6，
∴正方形ABCD的面积为6²=36；

（2）证明：如图，取AB的中点G，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴OG=AG=BG，
∵△AEB是直角三角形，∠AEB=90°，
∴EG=AG=BG，
∴OG=EG=AG=BG，
∴点A、E、B、O四点共圆，
∴BEO=∠BAO，∠AEO=∠ABO，
由正方形的性质，∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠BEO=∠AEO=45°，
故：∠BEO=∠AEO．

点评：本题考查了正方形的性质，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，（2）利用四点共圆和同弧所对的圆周角相等的性质求解更简便．