题目内容
如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是4，点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，动点P从点A开始，以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动．动点Q从点B开始沿B→C→O的方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（I）当t=1时，求PQ所在直线的解析式．
（2）当点Q在BC上运动时，若以P，B，Q为顶点的三角形与△OAP相似，求t的值．
（3）在P，Q两点运动的过程中，若△OPQ的面积为6，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
考点：一次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）求出t=1时，AP、CQ的长度，然后写出点P、Q的坐标，设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）分0＜t＜2和2＜t＜4两种情况表示出AP、PB、BQ，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后求解即可；
（3）分0＜t≤2，2＜t＜4时，表示出PB，然后根据S△OPQ=S梯形OPBC-S△PBQ-S△OCQ，列出方程求解即可；4≤t＜8时，表示出OQ，点P到OC的距离等于OA的长，再根据三角形的面积列式计算即可得解．
（2）分0＜t＜2和2＜t＜4两种情况表示出AP、PB、BQ，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后求解即可；
（3）分0＜t≤2，2＜t＜4时，表示出PB，然后根据S△OPQ=S梯形OPBC-S△PBQ-S△OCQ，列出方程求解即可；4≤t＜8时，表示出OQ，点P到OC的距离等于OA的长，再根据三角形的面积列式计算即可得解．
解答：解：（1）t=1时，AP=2×1=2，BQ=1，
∵正方形OABC的边长为4，
∴CQ=BC-BQ=4-1=3，
∴点P（2，4），Q（4，3），
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，
解得
，
所以，直线PQ的解析式为y=-
x+5；
（2）∵点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，
∴点P从A到B的时间是4÷2=2秒，
点Q从B到C的时间是4÷1=4秒，
①0＜t＜2时，AP=2t，PB=4-2t，BQ=t，
∵以P，B，Q为顶点的三角形与△OAP相似，
∴
=
，
即
=
，
整理得，t2+4t-8=0，
解得t1=2
-2，t2=-2
-2（舍去），
或
=
，
即
=
，
整理得，4-2t=2，
解得t=1，
②2＜t＜4时，AP=8-2t，PB=2t-4，BQ=t，
∵以P，B，Q为顶点的三角形与△OAP相似，
∴
=
，
即
=
，
整理得，t2=8，
解得t1=2
，t2=-2
（舍去），
或
=
，
即
=
，
整理得，t2-5t+8=0，
△=（-5）2-4×1×8=-7＜0，
方程无解，
综上所述，t的值为1或2
-2或2
；
（3）①0＜t≤2时，点P从A到B，点Q在BC上，
PB=4-2t，S△OPQ=S梯形OPBC-S△PBQ-S△OCQ，
=
（4-2t+4）×4-
×（4-2t）t-
×4（4-t），
=t2-4t+8，
∵△OPQ的面积为6，
∴t2-4t+8=6，
整理得t2-4t+2=0，
解得t1=2-
，t2=2+
（舍去），
此时，AP=2×（2-
）=4-2
，
所以，点P的坐标为（4-2
，4）；
②2＜t＜4时，点P从B到A，点Q在BC上，
PB=2t-4，S△OPQ=S梯形OPBC-S△PBQ-S△OCQ，
=
（2t-4+4）×4-
×（2t-4）t-
×4（4-t），
=-t2+8t-8，
∵△OPQ的面积为6，
∴-t2+8t-8=6，
整理得t2-8t+14=0，
解得t1=4-
，t2=4+
（舍去），
此时，AP=8-2t=8-2（4-
）=2
，
所以，点P的坐标为（2
，4）；
③4≤t＜8时，点P在AB上，点Q在OC上，
OQ=4+4-t=8-t，
S△OPQ=
×（8-t）×4=6，
解得t=5，
此时，点P运动的路程为2×5=10，
AP=10-4×2=2，
所以，点P的坐标为（2，4），
综上所述，P点坐标为（4-2
，4）或（2
，4）或（2，4）．
∵正方形OABC的边长为4，
∴CQ=BC-BQ=4-1=3，
∴点P（2，4），Q（4，3），
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
|
解得
|
所以，直线PQ的解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
（2）∵点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，
∴点P从A到B的时间是4÷2=2秒，
点Q从B到C的时间是4÷1=4秒，
①0＜t＜2时，AP=2t，PB=4-2t，BQ=t，
∵以P，B，Q为顶点的三角形与△OAP相似，
∴
| AP |
| OA |
| PB |
| BQ |
即
| 2t |
| 4 |
| 4-2t |
| t |
整理得，t2+4t-8=0，
解得t1=2
| 3 |
| 3 |
或
| AP |
| OA |
| BQ |
| PB |
即
| 2t |
| 4 |
| t |
| 4-2t |
整理得，4-2t=2，
解得t=1，
②2＜t＜4时，AP=8-2t，PB=2t-4，BQ=t，
∵以P，B，Q为顶点的三角形与△OAP相似，
∴
| AP |
| OA |
| PB |
| BQ |
即
| 8-2t |
| 4 |
| 2t-4 |
| t |
整理得，t2=8，
解得t1=2
| 2 |
| 2 |
或
| AP |
| OA |
| BQ |
| PB |
即
| 8-2t |
| 4 |
| t |
| 2t-4 |
整理得，t2-5t+8=0，
△=（-5）2-4×1×8=-7＜0，
方程无解，
综上所述，t的值为1或2
| 3 |
| 2 |
（3）①0＜t≤2时，点P从A到B，点Q在BC上，
PB=4-2t，S△OPQ=S梯形OPBC-S△PBQ-S△OCQ，
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=t2-4t+8，
∵△OPQ的面积为6，
∴t2-4t+8=6，
整理得t2-4t+2=0，
解得t1=2-
| 2 |
| 2 |
此时，AP=2×（2-
| 2 |
| 2 |
所以，点P的坐标为（4-2
| 2 |
②2＜t＜4时，点P从B到A，点Q在BC上，
PB=2t-4，S△OPQ=S梯形OPBC-S△PBQ-S△OCQ，
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=-t2+8t-8，
∵△OPQ的面积为6，
∴-t2+8t-8=6，
整理得t2-8t+14=0，
解得t1=4-
| 2 |
| 2 |
此时，AP=8-2t=8-2（4-
| 2 |
| 2 |
所以，点P的坐标为（2
| 2 |
③4≤t＜8时，点P在AB上，点Q在OC上，
OQ=4+4-t=8-t，
S△OPQ=
| 1 |
| 2 |
解得t=5，
此时，点P运动的路程为2×5=10，
AP=10-4×2=2，
所以，点P的坐标为（2，4），
综上所述，P点坐标为（4-2
| 2 |
| 2 |
点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的面积，三角形的面积，难点在于（2）根据相似三角形对应边的不同分情况讨论，（3）根据点P、Q的位置的不同分情况表示出△OPQ的面积．
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