Question

7．如图，AB是⊙O的直径，DB，DC分别与⊙O相切于B，C，OD交⊙O于点E，
（1）求证：∠AEC=∠CDO；
（2）若cos∠DCE=$\frac{4}{5}$，求sin∠AEC的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OC、BC，根据切线长定理得：DC=BD，∠DCO=90°，由于同圆的半径相等可知：OC=OB，所以OD是BC的中垂线，则∠CDO+∠DCB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建矩形HEGC，可知EH=CG，EG=HC，根据cos∠DCE=$\frac{4}{5}$=$\frac{CH}{CE}$，设CH=4x，CE=5x，则EH=3x，利用矩形对边相等得EH=CG=3x，EG=HC=4x，设⊙o的半径为r，利用勾股定理得：r²=（4x）²+（r-3x）²，求出r与x的关系，最后利用同角的三角函数求sin∠AEC的值．

解答 证明：（1）如图1，连接OC、BC，
∵DB，DC分别与⊙O相切于B，C，
∴DC=BD，∠DCO=90°，
∴∠DCB+∠BCO=90°，
∵OC=OB，
∴OD是BC的中垂线，
∴∠CDO+∠DCB=90°，
∴∠BCO=∠CDO，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠OBC，
∵∠AEC=∠OBC，
∴∠AEC=∠BCO=∠CDO；
（2）如图2，连接OC，过E作EH⊥CD于H，EG⊥CO于G，
∴∠EHC=∠EGC=90°，
∵∠DCO=90°，
∴四边形HEGC是矩形，
∴EH=CG，EG=HC，
Rt△CEH中，cos∠DCE=$\frac{4}{5}$=$\frac{CH}{CE}$，
设CH=4x，CE=5x，则EH=3x，
∴EH=CG=3x，EG=HC=4x，
设⊙o的半径为r，则OE=OC=r，OG=r-3x，
由勾股定理得：r²=（4x）²+（r-3x）²，
r=$\frac{25}{6}$x，
∵EG∥AD，
∴∠GEO=∠CDO，
∴∠AEC=∠CDO=∠GEO，
∴sin∠AEC=sin∠CDO=sin∠GEO=$\frac{OG}{OE}$=$\frac{\frac{25}{6}x-3x}{\frac{25}{6}x}$=$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查了切线长定理、圆周角定理以及三角函数，明确从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．