Question

小明和同桌小聪在课后做作业时，对课本中的一道作业题，进行了认真探索．

【作业题】如图1，一个半径为100m的圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，测得圆周角∠C=45°，求桥AB的长．
小明和小聪经过交流，得到了如下的两种解决方法：
方法一：延长BO交⊙O与点E，连接AE，得 Rt△ABE，∠E=∠C，∴AB=100

2

；
方法二：作AB的弦心距OH，连接OB，∴∠BOH=∠C，解Rt△OHB，∴HB=50

2

，
∴AB=100

2

．
感悟：圆内接三角形的一边和这边的对锐角、圆的半径（或直径）这三者关系，可构成直角三角形，从而把一边和这边的对锐角﹑半径建立一个关系式．
（1）问题解决：受到（1）的启发，请你解下面命题：
如图2，点A（3，0）、B（0，-3

3

），C为直线AB上一点，过A、O、C的⊙E的半径为2．求线段OC的长．
（2）问题拓展：如图3，△ABC中，∠ACB=75°，∠ABC=45°，AB=2

2

，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，设⊙O半径为x，EF为y．
①y关于x的函数关系式；②求线段EF长度的最小值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先根据锐角三角函数的定义求出∠OAB的度数，延长OE交⊙O于点F，连接CF，根据圆周角定理可得出∠F=∠OAB=60°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论；
（2）①先根据三角形内角和定理得出∠BAC=60°，延长EO交⊙O于点G，连接GF，根据锐角三角函数的定义即可得出结论；
②作AH⊥BC于点H，根据勾股定理求出AH的长，再根据AD=EG=2x得出x的取值范围，进而得出结论．

解答：解：（1）∵tan∠OAB=

OB

OA

=

3

，
∴∠OAB=60°，
延长OE交⊙O于点F，连接CF，
∴∠F=∠OAB=60°，
∴OC=2

3

；

（2）①∵∠ACB=75°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=60°，
如图3，延长EO交⊙O于点G．连接GF，
∴y=

3

x；

②如图3，作AH⊥BC于点H，
∵Rt△ABH中，∠ABC=45°，AB=2

2

，
∴AH=2，
∵AD=EG=2x，
∴2≤AD≤2

2

，即1≤x≤

2

，
∴y的最小值为

3

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到圆周角定理、直角三角形的性质等知识，难度适中．