Question

18．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于D、E，图1，2，3是旋转得到的三种图形．
（1）以图2为例，观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并加以说明．
（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接PC，通过证明△DPC≌△EPB，得出PD=PE．
（2）分EP=EB、EP=PB、BE=BP三种情况进行解答．

解答 解：（1）PD=PE．以图②为例，如图，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
在△DPC和△EPB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DCP=∠B}\\{∠DPC=∠EPB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△EPB（ASA），
∴PD=PE；

（2）能，
①当EP=EB时，如图1，

∴∠B=∠BPE=45°，
∴∠PEB=90°；
②当EP=PB时，如图2，点E在BC上，则点E和C重合，

则∠PEB=∠B=45°；


③当BE=BP时，如图3，若点E在BC上，

∴∠E=∠BPE，
又∵∠E+∠BPE=45°，
∴∠PEB=22.5°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质与判定；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏解．辅助线的作出是解答本题的关键．