Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（-1，0）、（4，0）．P是线段OC上的一个动点（点P与点O、C不重合），动点P从原点出发沿x轴正方向运动，过点P作直线PQ平行于y轴与AC相交于点Q．设P点的运动距离l（0＜l＜4），点B关于直线PQ的对称点为M．

（1）点M的坐标为（2l+1，0）．
（2）求直线AC的表达式．
（3）连结MQ，若△QMC的面积为S，求S与l的函数关系．

Answer 1

分析 （1）先求出BP，再利用对称即可得出PM，进而用l表示出OM即可得出点M坐标；
（2）利用待定系数法确定出直线AC表达式；
（3）分点M在线段OC和在射线OC两种情况，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵动点P从原点出发沿x轴正方向运动，设P点的运动距离l，
∴OP=l，
∵B（-1，0），
∴BP=l+1，
∵点B关于直线PQ的对称点为M．
∴PM=l+1，
∴OM=OP+PM=l+l+1=2l+1，
∴M（2l+1，0），
故答案为（2l+1，0）
（2）设直线AC的表达式为y=kx+b，
∵A（0，2）、C（4，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的表达式y=-$\frac{1}{2}$x+2，
（3）如图1，当点M在线段OC上时，
∴2l+1≤4，
∴l≤$\frac{3}{2}$，
即：0＜l≤$\frac{3}{2}$时，Q（l，-$\frac{1}{2}$l+2），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$l+2，MC=OC-OM=4-（2l+1）=3-2l，
∴S=S_△QMC=$\frac{1}{2}$MC•PQ=$\frac{1}{2}$（3-2l）（-$\frac{1}{2}$l+2）=$\frac{1}{2}$l²-$\frac{11}{4}$l+3，
如图2，当点M在射线OC上时，$\frac{3}{2}$＜l＜4时，
∴MC=（2l+1-3）=2l-3，PQ=-$\frac{1}{2}$l+2，
∴S=S_△QMC=$\frac{1}{2}$MC•PQ=$\frac{1}{2}$（2l-3）（-$\frac{1}{2}$l+2）=-$\frac{1}{2}$l²+$\frac{11}{4}$l-3，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{l}^{2}-\frac{11}{4}l+3（0＜l≤\frac{3}{2}）}\\{-\frac{1}{2}{l}^{2}+\frac{11}{4}l-3（\frac{3}{2}＜l＜4）}\end{array}\right.$

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称的性质，三角形的面积公式，体现了分类讨论的思想，确定出直线AC的解析式是解本题的关键．