Question

15．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，等腰直角三角形△ABC、△ADE的顶点都在格点上，点F，G分别为线段DE、BC上的动点，且DF=BG．
（1）∠C=45°；
（2）如图1，当DF=$\sqrt{2}$时，求AF+AG的值；
（3）当AF+AG取得最小值时，请在如图2所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AF和AG，并简要说明点F和点G的位置是如何找到的（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）根据当BN=EM=$\sqrt{2}$时，点N和点M在格点上，运用勾股定理进行计算即可得到CN+CM的值；
（3）如图所示，取格点P、Q，使得PB=AD，PB⊥AB，QD=AB，QD⊥AC，连接AP交CB于G，连接AQ交DE于F，则线段AG和AF即为所求．

解答 解：（1）∵三角形△ABC是等腰直角三角形
∴∠C=45°；
故答案为：45．

（2）当BN=EM=$\sqrt{2}$时，点N和点M在格点上，
∴CN+CM=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$+$\sqrt{2}$；

（3）如图所示，取格点P、Q，使得PB=AD，PB⊥AB，QD=AB，QD⊥AC，
连接AP交CB于G，连接AQ交DE于F，则线段AG和AF即为所求．
理由如下：根据等腰直角三角形ACB与ECD的顶点都在网格点上，可得∠PBG=∠ADF=45°，∠ABG=∠QDE=45°，而DF=BG，
故△BPG≌△ADF，△ABG≌△QDF，
∴PG=AF，AG=QF，
∴当A，G，P三点共线时，AG+AF=AG+GP=AP（最短），
当Q，F，A三点共线时，AF+AG=AF+QF=AQ（最短），
∴点F和点G的位置符合题

点评 本题主要考查了复杂作图，勾股定理以及全等三角形判定与性质的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．