Question

3．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD=90°，BC的延长线交DE于F．
（1）求证：EF=DF；
（2）求证：S_△ABC=S_△DCE．

Answer 1

分析 （1）作EG⊥BF，交BF延长线于G；证出∠ECG=∠BAC，由AAS证明△ABC≌△CGE，得出BC=EG，再由AAS证明△CFD≌△GFE，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出面积相等S_△DCE=S_△CGE，S_△ABC=S_△CGE，即可得出结论．

解答 证明：（1）作EG⊥BF，交BF延长线于G，如图所示：
则∠CGE=∠ABC=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECG=90°，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ECG=∠BAC，
在△ABC和△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECG=∠BAC}\\{∠CGE=∠ABC}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CGE（AAS），
∴BC=EG，
∵BC=CD，
∴EG=CD，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°=∠EGF，
在△CFD和△GFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠EGF}\\{∠CFD=∠GFE}\\{CD=EG}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△GFE（AAS），
∴EF=DF；
（2）∵△CFD≌△GFE，
∴S_△CFD=S_△GFE，
∴S_△CFD+S_△CFE=S_△GFE+S_△CFE，
即S_△DCE=S_△CGE，
∵△ABC≌△CGE，
∴S_△ABC=S_△CGE，
∴S_△ABC=S_△DCE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积；本题有一定难度，特别是（1）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．