Question

15．如图，已知∠ABE=90°，点D在∠ABE的角平分线上，将一个直角三角形的直角顶点在D点处，两直角边分别交AB，BE于M，N，点K到△BMN三边的距离相等，连接DK．
（1）如图1，若点K在△BMN内部，则DK与DN有何数量关系？请证明你的结论．
（2）若将三角形绕D点旋转到图2的位置，若点K在△BMN的外部，问（1）中的结论还成立吗？试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接KN，延长DK交于B点，D在∠MBN的平分线上，点K为△BNM的内心，得到DK必交于B点，推出B、M、D、N四点共圆，由圆周角定理得到∠DBM=∠DNM，由点K为△BNM的内心，得到∠BNK=∠MNK根据外角的性质得到∠DKN=∠DNK，由等腰三角形的性质得到结论；
（2）连接KN，推出B、M、D、N四点共圆，由点D在∠ABE的角平分线上，得到∠ABD=∠NBD=45°，求得∠DBM=135°，根据圆内接四边形的性质得到∠DNM=45°，由点K到△BMN三边的距离相等，得到NK平分∠BNM，由角平分线的定义得到∠BNK=∠MNK，根据三角形的外角的性质得到∠DNK=∠DNM-∠KNM，∠K=∠DBN-∠BNK，即可得到结论．

解答 解：（1）连接KN，延长DK交于B点，
∵D在∠MBN的平分线上，点K为△BNM的内心，
∴DK必交于B点，
∵∠ABE=∠MDN=90°，
∴B、M、D、N四点共圆，
∴∠DBM=∠DNM，
∵点K为△BNM的内心，
∴KN为∠BNM的平分线，
∴∠BNK=∠MNK
∵∠DKN=∠KBN+∠BNK，∠KBN=∠DNM，∠DNK=∠MNK+∠DNM，
∴∠DKN=∠DNK，
∴DK=DN；

（2）连接KN，
∵∠MDN=∠MBN=90°，
∴B、M、D、N四点共圆，
∵点D在∠ABE的角平分线上，
∴∠ABD=∠NBD=45°，
∴∠DBM=135°，
∴∠DNM=45°，
∵点K到△BMN三边的距离相等，
∴NK平分∠BNM，
∴∠BNK=∠MNK，
∵∠DNK=∠DNM-∠KNM，∠K=∠DBN-∠BNK，
∴∠DNK=∠K，
∴DN=DK．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形内心的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．