Question

19．如图，Rt△ABC中，M为斜边AB上一点，且MB=MC=AC=8cm，平行于BC的直线l从BC的位置出发以每秒1cm的速度向上平移，运动到经过点M时停止．直线l分别交线段MB、MC、AC于点D、E、P，以DE为边向下作等边△DEF，设△DEF与△MBC重叠部分的面积为S（cm²），直线l的运动时间为t（秒）．
（1）求边BC的长度；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得以P、C、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得以点D为圆心、BD为半径的圆与直线EF相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性质和锐角三角函数即可，
（2）分两段求出函数关系式：当0＜t≤3时，S=-$\frac{7\sqrt{3}}{3}$t²+8$\sqrt{3}$t，当3＜t≤4时，S=3$\sqrt{3}$t²-24$\sqrt{3}$t+48$\sqrt{3}$
（3）当0＜t≤3时，∠FCP≥90°，故△PCF不可能为等腰三角形当3＜t≤4时，若△PCF为等腰三角形，也只能FC=FP，$\frac{t}{2}$=3（4-t），得t=$\frac{24}{7}$．
（4）若相切，利用点到圆心的距离等于半径列出方程即可．

解答 解：（1）设∠B=α，
∵MB=MC，
∴∠B=MCB=α，
∴∠AMC=2α，
∵MC=MA，
∴∠A=∠AMC=2α，
∵∠B+∠A=90°，
∴α+2α=90°，
∴α=30°，
∴∠B=30°，
∵cotB=$\frac{BC}{AC}$，
∴BC=AC×cotB=8$\sqrt{3}$；

（2）由题意，若点F恰好落在BC上，
∴MF=4（4-t）=4，
∴t=3．
当0＜t≤3时，如图，

∴BD=2t，DM=8-2t，
∵l∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DM}{BM}$，
∴$\frac{DE}{8\sqrt{3}}=\frac{8-2t}{8}$，
∴DE=$\sqrt{3}$（8-2t）．
∴点D到EF的距离为FJ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=3（4-t），
∵l∥BC，
∴$\frac{HG}{DE}=\frac{FN}{FJ}$，
∵FN=FJ-JN=3（4-t）-t=12-4t，
∴HG=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（3-t）
S=S_梯形DHGE=$\frac{1}{2}$（HG+DE）×FN=-$\frac{7\sqrt{3}}{3}$t²+8$\sqrt{3}$t
当3＜t≤4时，重叠部分就是△DEF，
S=S_△DEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$DE²=3$\sqrt{3}$t²-24$\sqrt{3}$t+48$\sqrt{3}$．
即：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{7\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+8\sqrt{3}t（0＜t≤3）}\\{3\sqrt{3}{t}^{2}-24\sqrt{3}t+48\sqrt{3}（3＜t≤4）}\end{array}\right.$

（3）当0＜t≤3时，∠FCP≥90°，
∴FC＞CP，
∴△PCF不可能为等腰三角形
当3＜t≤4时，若△PCF为等腰三角形，
∴只能FC=FP，
∴$\frac{t}{2}$=3（4-t），
∴t=$\frac{24}{7}$
∴存在这样的时刻t=$\frac{24}{7}$时，使得以P、C、F为顶点的三角形为等腰三角形，
（4）若相切，
理由：∵∠B=30°，
∴BD=2t，DM=8-2t，
∵l∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DM}{BM}$，
∴$\frac{DE}{8\sqrt{3}}=\frac{8-2t}{8}$，
∴DE=$\sqrt{3}$（8-2t）．
∴点D到EF的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=3（4-t）
∴2t=3（4-t），
解得t=$\frac{12}{5}$．
∴存在这样的时刻t=$\frac{12}{5}$时，使得以点D为圆心、BD为半径的圆与直线EF相切．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，圆的切线的性质，解本题的关键利用三角函数求出线段．