Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P．使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AP，若AP平分∠CAB，AC=2，则BC=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用线段垂直平分线的性质作出AB的垂直平分线进而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定得出△ACP≌△ADP（AAS），进而得出AB的长，再利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）如图所示：P点即为所求；

（2）∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP=∠PAD，
在△ACP和△ADP中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠ADP}\\{∠CAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△ADP（AAS），
∴AC=AD，
∵AD=BD，
∴AB=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△ACP≌△ADP是解题关键．