Question

15．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，过点A作边BC的垂线，垂足为点D，将△ADC绕着点D旋转得列△DEF（其中点A的对应点为点E，点C的对应点为点F），直线AE，FC相交于点G，连接BG，设BG=y，在旋转过程中，y的最大值是3+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由旋转性质可得AD=ED、CD=FD、∠ADC=∠EDF=90°，从而知$\frac{AD}{CD}=\frac{ED}{FD}$且∠ADE=∠CDF，可证△ADE∽△CDF得∠DAE=∠DCF，结合∠DCF+∠DCG=180°、∠ADC=90°可知点A、D、C、G四点在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，连接BO、GO，可得OA=OC=OG=$\frac{1}{2}$AC=3，∠BOC=90°，根据BG≤BO+OG可得答案．

解答 解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，且AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，AC=6，
∵△EDF是由△ADC绕点D旋转所得，
∴△EDF≌△ADC，
∴AD=ED、CD=FD，∠ADC=∠EDF=90°，即∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{ED}{FD}$，且∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠DCF+∠DCG=180°，
∴∠DAG+∠DCG=180°，
∴∠ADC+∠AGC=180°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
则点A、D、C、G四点在以AC为直径的圆上，
如图，取AC的中点O，连接BO、GO，

则OA=OC=OG=$\frac{1}{2}$AC=3，∠BOC=90°，
∴BO=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵BG≤BO+OG=3+3$\sqrt{3}$，
∴在旋转过程中，y的最大值是3+3$\sqrt{3}$，
故答案为：3+3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及四点共圆，通过旋转的性质和相似三角形的判定与性质得出四点共圆是解题的关键．