Question

7．如图，AB是圆O直径，C是圆O上一点，P在AB延长线上，且∠PCB=∠A．
（1）求证：PC与圆O相切；
（2）若圆O半径为5，AC=8，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质证明∠OCP=90°，则根据切线的判定定理证得；
（2）首先利用勾股定理求得BC的长，然后证明△PAC∽△PBC，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．

解答 解：（1）证明：连接OC．
∵AB是圆O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
又∵∠PCB=∠A，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC与圆O相切；
（2）AB=5×5=10，
在直角△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6．
∵∠PCB=∠A，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PBC，
∴$\frac{BP}{AC}$=$\frac{BP}{PC}$=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴PC2=BP•AP，设BP=3x，则PC=4x，
∴（4x）²=3x•（3x+10），
解得x=$\frac{30}{7}$，
则BP=$\frac{90}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定定理以及相似三角形的判定与性质，正确根据相似三角形的性质列方程是关键．