Question

6．如图，已知在△ABC中，分别以AC、BC为边向外作正△BCE，正△ACD，BD与AE交于M．
求证：（1）AE=BD；
（2）MC平分∠DME．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AC=DC，∠DAC=∠ACD=∠CBE=∠BCE=60°，BC=EC，得出∠AE=∠DCB，由SAS证明△ACE≌△DCB（SAS），即可证明AE=BD；
（2）由（1）得出∠1=∠2，∠3=∠4，得出A、D、C、M四点共圆，B、E、C、M四点共圆，由圆周角定理得出∠DMC=∠DAC=60°，∠EMC=∠CBE=60°，即可得出结论．

解答 解：
（1）证明：如图所示：
∵△ACD、△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，∠DAC=∠ACD=∠CBE=∠BCE=60°，BC=EC，
∴∠AE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（2）
∵△ACE≌△DCB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴A、D、C、M四点共圆，B、E、C、M四点共圆，
∴∠DMC=∠DAC=60°，∠EMC=∠CBE=60°，
∴∠DMC=∠EMC，
∴MC平分∠DME．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．