Question

8．已知，如图，以△ABC的边AB、AC为边，分别在△ABC外作等边△ABD，等边△ACE．
（1）如图1，求证：BE=CD；
（2）如图1，求∠BOC的度数；
（3）如图1，求证：AO平分∠DOE；
（4）如图2，求证：AO+BO=DO；
（5）如图3，若点P为CD的中点，点Q为BE的中点，求证：△APQ为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根据SAS证△ABE≌△ADC即可；
（2）根据全等求出∠ADC=∠ABE，在△DOB中根据三角形的内角和定理和∠ADB=∠DBA=60°即可求出答案；
（3）过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可；
（4）通过△DAC≌△BAE，得到∠1=∠2，于是得到∠4=∠DAB=60°，如图2，作等边三角形BOF，由于△BDF≌△BAO得到DF=AO，于是证得结论；
（5）由（4）证得△DAC≌△BAE，得到∠1=∠2，CD=BE，根据点P为CD的中点，点Q为BE的中点，于是得到PD=BQ，推出△ADP≌△ABQ，得到AP=AQ，∠3=∠4，根据等量代换即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，
即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ADC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC．

（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD中，∠BOD=180°-∠BDO-∠DBA-∠ABE
=180°-∠DBA-（∠ADC+∠BDO）
=180°-60°-60°
=60°．

（3）证明：如图1，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S_△ABE=S_△ADC
∴-$\frac{1}{2}$BE•AM=$\frac{1}{2}$CD•AN，
∴AM=AN，
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠DOE；

（4）证明：∵∠DAC=60°+∠BAC，∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠DAB=60°，
如图2，作等边三角形BOF，
∵∠DBF=∠DBA-∠FBA=60°-∠FBA=∠2，
在△BDF与△BAO中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBF=∠2}\\{BF=BO}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△BAO
∴DF=AO，
∴OD=OF+FD=OB+OA，

（5）证明：由（4）证得△DAC≌△BAE，
∴∠1=∠2，CD=BE，
∵点P为CD的中点，点Q为BE的中点，
∴PD=BQ，
在△ADP与△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠1=∠2}\\{DP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ABQ，
∴AP=AQ，∠3=∠4，
∴∠3+∠PAB=60°，
∴∠PAB+∠4=60°，
∴△APQ为等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．