Question

3．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D，E分别是BC，AC上一点，BD=AE，BE，AD交于M，
（1）求证：AM=BM；
（2）若∠BMD=45°，求$\frac{BM}{EM}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠ACB=90°，得到△是等腰直角三角形，求得∠BAC=∠ABC=45°，通过△ABD≌△BAE，得到∠1=∠2，AD=BE，于是得到结论；
（2）过D作DF⊥AB于F，DN⊥BE于N，得到△BDF是等腰直角三角形，求出BD=$\sqrt{2}$DF，由（1）知，AD=BE，EM=DM，AM=BM，根据∠1=∠2，∠BMD=∠1+∠2=45°，于是得到∠1=∠2=22.5°求得△DCE是等腰直角三角形，于是得到DE=$\sqrt{2}$CD=BD，根据垂直平分线的性质得到BN=EN，推出△MDN是等腰直角三角形，求得EM=DM=$\sqrt{2}$MN，于是得到BN=EN=EM+MN=（$\sqrt{2}$+1）MN，结论即可求得．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠ACB=90°，
∴△是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
在△ABD与△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠BAC=∠ABC}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BAE，
∴∠1=∠2，AD=BE，
∴AM=BM；

（2）过D作DF⊥AB于F，DN⊥BE于N，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$DF，由（1）知，AD=BE，EM=DM，AM=BM，
∵∠1=∠2，∠BMD=∠1+∠2=45°，
∴∠1=∠2=22.5°，
∵∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，
∴AD，BM分别平分∠BAC，∠ABC，
∴CD=DF，
∴BD=$\sqrt{2}$CD，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD=BD，
∴DN是BE的垂直平分线，
∴BN=EN，
∵∠BMD=45°，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴EM=DM=$\sqrt{2}$MN，
∴BN=EN=EM+MN=（$\sqrt{2}$+1）MN，
∴$\frac{BM}{EM}=\frac{BN+MN}{EN-MN}=\frac{（\sqrt{2}+1）MN+MN}{（\sqrt{2}+1）MN-MN}$=$\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}+$1．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．