Question

18．如图，在正方形ABCD中，点G是CD上任意一点，连接BG，作AE⊥BG于点E，CF⊥BG于点F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若BC=2，CF=$\frac{6}{5}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由角的互余关系证出∠FBC=∠BAE，由AAS证明△ABE≌△BCF，得出对应边相等即可；
（2）由勾股定理求出BF，再由（1）的结论，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AE⊥BG，CF⊥BG，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
又∵∠ABE+∠FBC=90°，∠ABE+∠BAE=90°
∴∠FBC=∠BAE，
在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FBC}&{\;}\\{∠AEB=∠BFC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF；
（2）解：∵CF⊥BG，BC=2，CF=$\frac{6}{5}$
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
又∵BE=CF=$\frac{6}{5}$，
∴EF=BF-BE=$\frac{8}{5}-\frac{6}{5}=\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．