Question

9．正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG．求证：EF=BE+DF．

Answer 1

分析 首先证明FG=BE+DF；其次证明AE=AG，∠EAF=∠FAG，此为解题的关键性结论；证明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，即可解决问题．

解答 证明：如图，由题意得：△ABE≌△ADG，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，BE=DG；
∴FG=BE+DF；
∴∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠DAG；
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAG=45°，∠EAF=∠FAG；
在△EAF与△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，而FG=BE+DF，
∴EF=BE+DF．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及其性质等知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质等知识点；解题的关键是抓住旋转变换过程中的不变量．